A ও B প্রকার যন্ত্র তৈরিতে যথাক্রমে 3 ও 4 একক সময় এবং 2 ও 1 একক কাচামাল লাগে। 45 একক সময় 20 একক কাচামাল দিয়ে সর্বোচ্চ যে লাভ হবে (যখন A এর প্রতি লাভ 10 টাকা B এর প্রতি লাভ 12 টাকা) তা হলে-

এই সমস্যাটি একটি রৈখিক প্রোগ্রামিং (Linear Programming) সমস্যা, যেখানে দুটি ভিন্ন প্রকারের যন্ত্র A ও B উৎপাদন করে সর্বাধিক লাভ নির্ণয় করতে হবে কিছু সীমিত সম্পদের (সময় ও কাঁচামাল) সাপেক্ষে।

ধরি,

    
• A প্রকার যন্ত্রের সংখ্যা = \(x\)
    
• B প্রকার যন্ত্রের সংখ্যা = \(y\)

আমরা জানি যে, \(x\) এবং \(y\) এর মান অবশ্যই অঋণাত্মক হবে, অর্থাৎ \(x \ge 0, y \ge 0\)।

১. উদ্দেশ্যমূলক ফাংশন (Objective Function):

A প্রকার যন্ত্র থেকে প্রতি লাভে ১০ টাকা এবং B প্রকার যন্ত্র থেকে প্রতি লাভে ১২ টাকা হয়। সুতরাং, মোট লাভ ফাংশন হবে:

আমাদের এই \(P\) এর মান সর্বোচ্চ করতে হবে।

২. সীমিতকরণ শর্তাবলি (Constraints):

সময়ের শর্ত:

A প্রকার যন্ত্র তৈরিতে ৩ একক সময় এবং B প্রকার যন্ত্র তৈরিতে ৪ একক সময় লাগে। মোট সময় আছে ৪৫ একক।

কাঁচামালের শর্ত:

A প্রকার যন্ত্র তৈরিতে ২ একক কাঁচামাল এবং B প্রকার যন্ত্র তৈরিতে ১ একক কাঁচামাল লাগে। মোট কাঁচামাল আছে ২০ একক।

এখন, সম্ভাব্য এলাকা (Feasible Region) খুঁজে বের করতে হবে এবং এর শীর্ষবিন্দুগুলোতে (Corner Points) লাভ ফাংশনের মান নির্ণয় করতে হবে।

সমীকরণগুলোকে বিবেচনা করি:

L1: \(3x + 4y = 45\)

L2: \(2x + y = 20\)

শীর্ষবিন্দুগুলো নির্ণয়:

ক. \((0,0)\) বিন্দুতে:

\(P = 10(0) + 12(0) = 0\) টাকা

খ. \(y=0\) রেখা এবং \(2x + y = 20\) রেখার ছেদবিন্দু:

\(y=0\) বসিয়ে পাই \(2x = 20 \implies x = 10\)। বিন্দুটি \((10,0)\)।

এই বিন্দুটি কি \(3x + 4y \le 45\) শর্তটি পূরণ করে? \(3(10) + 4(0) = 30 \le 45\)। হ্যাঁ, করে।

সুতরাং, \((10,0)\) বিন্দুতে লাভ:

\(P = 10(10) + 12(0) = 100\) টাকা

গ. \(x=0\) রেখা এবং \(3x + 4y = 45\) রেখার ছেদবিন্দু:

\(x=0\) বসিয়ে পাই \(4y = 45 \implies y = \frac{45}{4} = 11.25\)। বিন্দুটি \((0, 11.25)\)।

এই বিন্দুটি কি \(2x + y \le 20\) শর্তটি পূরণ করে? \(2(0) + 11.25 = 11.25 \le 20\)। হ্যাঁ, করে।

সুতরাং, \((0, 11.25)\) বিন্দুতে লাভ:

\(P = 10(0) + 12(11.25) = 135\) টাকা

ঘ. \(3x + 4y = 45\) এবং \(2x + y = 20\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু:

\(2x + y = 20 \implies y = 20 - 2x\)।

এই মানটি \(3x + 4y = 45\) সমীকরণে বসাই:

\(3x + 4(20 - 2x) = 45\)

\(3x + 80 - 8x = 45\)

\(-5x = 45 - 80\)

\(-5x = -35\)

\(x = 7\)

এখন, \(y\) এর মান নির্ণয় করি:

\(y = 20 - 2(7) = 20 - 14 = 6\)

সুতরাং, ছেদবিন্দুটি হলো \((7, 6)\)।

এই বিন্দুটি \((7, 6)\) উভয় শর্ত পূরণ করে (আমরা যখন সমীকরণ সমাধান করি তখন এটি ধরে নেওয়া হয়, তবে ক্রস-চেক করা ভালো):

সময়: \(3(7) + 4(6) = 21 + 24 = 45 \le 45\)

কাঁচামাল: \(2(7) + 1(6) = 14 + 6 = 20 \le 20\)

সুতরাং, \((7, 6)\) বিন্দুতে লাভ:

\(P = 10(7) + 12(6) = 70 + 72 = 142\) টাকা

প্রাপ্ত লাভগুলোর মধ্যে সর্বোচ্চ মান হলো ১৪২ টাকা।

অতএব, সর্বোচ্চ লাভ হবে ১৪২ টাকা।